(0, 2pi) में f(x) = min { |sin x|, |cos x|, f | vedclass

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Question

(D) $(0, 2\pi)$ अंतराल में $f(x) = \min \{ |\sin x|, |\cos x|, \frac{1}{4} \}$ के अवकलनीयता न होने वाले बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम $y = |\sin x|$

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$12$

Vedclass · Answer

(D) $(0, 2\pi)$ अंतराल में $f(x) = \min \{ |\sin x|, |\cos x|, \frac{1}{4} \}$ के अवकलनीयता न होने वाले बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम $y = |\sin x|$,$y = |\cos x|$,और $y = \frac{1}{4}$ के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का विश्लेषण करते हैं।
$1$. फलन $f(x)$ इन तीन वक्रों का निचला आवरण (lower envelope) है।
$2$. अवकलनीयता न होने वाले बिंदु इन वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर होते हैं जहाँ ढाल अचानक बदल जाती है या जहाँ फलन सुचारू नहीं होता है।
$3$. $(0, 2\pi)$ अंतराल पर $y = |\sin x|$,$y = |\cos x|$,और $y = \frac{1}{4}$ के ग्राफ को प्लॉट करके,हम उन बिंदुओं की पहचान करते हैं जहाँ न्यूनतम मान एक फलन से दूसरे फलन में बदल जाता है।
$4$. प्रतिच्छेदन बिंदु निम्नलिखित हैं:
- $|\sin x| = |\cos x|$,$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ पर।
- $|\sin x| = \frac{1}{4}$,$x = \arcsin(\frac{1}{4}), \pi - \arcsin(\frac{1}{4}), \pi + \arcsin(\frac{1}{4}), 2\pi - \arcsin(\frac{1}{4})$ पर।
- $|\cos x| = \frac{1}{4}$,$x = \arccos(\frac{1}{4}), \pi - \arccos(\frac{1}{4}), \pi + \arccos(\frac{1}{4}), 2\pi - \arccos(\frac{1}{4})$ पर।
$5$. ग्राफ का निरीक्षण करने पर,फलन $f(x)$ इन वक्रों के खंडों से बना है। जिन बिंदुओं पर न्यूनतम मान एक फलन से दूसरे फलन में बदलता है,वे अवकलनीयता न होने वाले बिंदु हैं। $(0, 2\pi)$ में ऐसे कुल $12$ बिंदु हैं जहाँ वक्र प्रतिच्छेद करते हैं और न्यूनतम मान बदलता है। अतः,सही उत्तर $12$ है।

$(0, 2\pi)$ में $f(x) = \min \{ |\sin x|, |\cos x|, \frac{1}{4} \}$ के अवकलनीयता न होने वाले बिंदुओं की कुल संख्या क्या है?

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 \ln \cos x}{\ln (1+x^2)} & , x \neq 0 \\ 0 & , x=0 \end{cases}$ है, तो $f(x)$ है

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